Question

已知點M（2，1）在橢圓C：+=1（a＞b＞0）上，橢圓的兩個焦點F₁（-2，0）和F₂（2，0），斜率為-1的直線l與橢圓C相交于不同的P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點B的坐標為（0，2），是否存在直線l，使△BPQ為以PQ為底邊的等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知，半焦距c=2，由點M（2，1）在橢圓C上，得|MF₂|=1，|MF₁|=7；∴2a=|MF₁|+|MF₂|=8；∴a=4，∴b²=a²-c²=4；所以，橢圓C的方程為：+=1．
（Ⅱ）設PQ的中點為R，直線l的方程為y=-x+m；
由，得5x²-8mx+4m²-16=0（*）；
要使l與橢圓C相交于不同的P、Q兩點，則有△＞0；
∴△=（-8m）²-4×5（4m²-16）=16（-m²+20）＞0，
化簡，得|m|＜2． ①
由（*）知：x_R==m，y_R=-x_R+m=m．
且|BP|=|BQ|，所以BR⊥PQ，即k_RQ•（-1）=-1；
所以==1，解得m=-．
因為＜2，所以m=-適合①．
所以存在滿足條件的直線l；y=-x-．
分析：（Ⅰ）由半焦距c=2，點M（2，1）在橢圓C上，可得|MF₂|，|MF₁|；由|MF₁|+|MF₂|=2a，可得a的值，從而得橢圓C的方程．
（Ⅱ）設PQ的中點為R，直線l的方程為y=-x+m；由，得5x²-8mx+4m²-16=0（*）；要使l與橢圓C相交于不同的P、Q兩點，則有△＞0，可得|m|＜2 ①，由（*）和中點坐標知x_R，y_R；且|BP|=|BQ|，得BR⊥PQ，即得k_RQ的值；從而解得m的值，得滿足條件的直線l．
點評：本題考查了直線與橢圓標準方程的綜合應用問題，解題時要弄清題中所給的條件，靈活運用橢圓的定義，根與系數(shù)的關系式，以及中點坐標公式來進行求解．