Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax，g（x）=bx²+2b-1．
（1）若曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間[t，t+3]內(nèi)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,分類討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分別求出函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，由于曲線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有相同的切線，所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1），列出方程，解出即可；
（2）寫(xiě)出h（x）的解析式，求出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，得到h（-2）=h（1），討論①當(dāng)t+3＜1，②當(dāng)-2≤t＜1時(shí)，③當(dāng)t≥1時(shí)，通過(guò)單調(diào)性，分別求出最小值即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=

1

3

x³-ax（a＞0），g（x）=bx²+2b-1，
所以f′（x）=x²-a，g′（x）=2bx．
因?yàn)榍�線y=f（x）與y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，c）處有相同的切線，
所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1），
即

1

3

-a=b+2b-1，且1-a=2b，
解得a=

1

3

，b=

1

3

．
（2）當(dāng)a=1，b=0時(shí)，h（x）=

1

3

x³-x-1，b=

1-a

2

，
則由（2）可知，函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
因?yàn)閔（-2）=-

5

3

，h（1）=-

5

3

，所以h（-2）=h（1）．
①當(dāng)t+3＜1，即t＜-2時(shí)，[h（x）]_min=h（t）=

1

3

t³-t-1．
②當(dāng)-2≤t＜1時(shí)，[h（x）]_min=h（-2）=-

5

3

．
③當(dāng)t≥1時(shí)，h（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，[h（x）]_min=h（t）=

1

3

t³-t-1．
綜上可知，函數(shù)h（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最小值
[h（x）]_min=

1 3 t3-t-1，t∈(-∞，-2)∪[1，+∞) - 5 3 ，t∈[-2，1).

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．