Question

(本題滿分14分)已知函數(shù)。
（Ⅰ）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當時，求在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）當時，求證：對大于的任意正整數(shù)，都有 。

Answer 1

解：（I）     ……………1分
∵ 函數(shù)在上為增函數(shù)
∴ 對恒成立，              ……………………2分
∴ 對恒成立，即對恒成立
∴                                               ……………………4分
（II）當時，，
∴ 當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，，故在上單調(diào)遞增，         ………………6分
∴在區(qū)間上有唯一極小值點，故 ……7分
又  
∵     ∴ 
∴ 在區(qū)間上的最大值
綜上可知，函數(shù)在上的最大值是，最小值是。………………9分
（Ⅲ）當時，，故在上為增函數(shù)。
當時，令，則，故 ……………………11分
∴ 即………12分
∴ 
∴   …………………13分
∴ 
即對大于的任意正整數(shù)，都有    ……………………14分

略