Question

【題目】設(shè)a≥0，f（x）=x﹣1﹣ln2x+2alnx（x＞0）． （Ⅰ）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)求導(dǎo)法則有 ， 故F（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x＞0，
于是 ，
∴知F（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
所以，在x=2處取得極小值F（2）=2﹣2ln2+2a．
（Ⅱ）證明：由a≥0知，F(xiàn)（x）的極小值F（2）=2﹣2ln2+2a＞0．
于是知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增加．
所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0．
故當x＞1時，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．
【解析】（1）先根據(jù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間及極值即可．（2）欲證x＞ln2x﹣2a ln x+1，即證x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．