Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，直線l：y=

3

(x-4)關(guān)于直線l1：y=

b

a

x對稱的直線l′與x軸平行．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若點M（4，0）到雙曲線上的點P的最小距離等于1，求雙曲線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件利用兩直線的夾角公式推導(dǎo)出|

3 - b a

1+ 3 • b a

|=|

0- b a

1-0• b a

|，由此能求出雙曲線的離心率．
（2）設(shè)雙曲線為

x2

3b2

-

y2

b2

=1，由點M（4，0）到雙曲線上的點P的最小距離等于1，得到|

3

b-4|=1，由此能求出雙曲線方程．

解答： 解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
直線l：y=

3

(x-4)關(guān)于直線l1：y=

b

a

x對稱的直線l′與x軸平行，
∴k=

3

，k1=

b

a

，k′=0，
∴|

3 - b a

1+ 3 • b a

|=|

0- b a

1-0• b a

|，
解得

b

a

=

3

3

，或

b

a

=-

3

（舍）．
∴

b

a

=

3

3

，∴e=

c2 a2

=

1+ b2 a2

=

1+ 1 3

=

2 3

3

．
∴雙曲線的離心率e=

2 3

3

．
（2）∵

b

a

=

3

3

，∴a²=3b²，∴設(shè)雙曲線為

x2

3b2

-

y2

b2

=1，
∵點M（4，0）到雙曲線上的點P的最小距離等于1，
∴|

3

b-4|=1，
解得

3

b=5，或

3

b=3．
當(dāng)

3

b=5時，b=

5

3

，∴b2=

25

3

 ，3b2=25，
雙曲線方程為

x2

25

-

3y2

25

=1；
當(dāng)

3

b=3時，b=

3

，b²=3，3b²=9，
雙曲線方程為

x2

9

-

y2

3

=1．
∴雙曲線的方程為

x2

25

-

3y2

25

=1或

x2

9

-

y2

3

=1．

點評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程的求法，解題時要注意直線方程夾角公式的合理運用．