Question

一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標(biāo)；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知，動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切，可得圓心到定點P（0，1），及定直線y=-1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可得動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）①設(shè)出AB所在直線方程y=kx+b，和拋物線方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合已知條件求得b的值，則可證得直線過定點，并求得定點坐標(biāo)；
②由拋物線的定義，結(jié)合（2）①中的根與系數(shù)關(guān)系把|PA|+|PB|轉(zhuǎn)化為含有k的代數(shù)式，則|PA|+|PB|的取值范圍可求．

解答： （1）解：∵動圓過定點P（0，1），且與定直線y=-1相切，
∴圓心到定點P（0，1），及定直線y=-1的距離相等
∴圓心軌跡M是以P（0，1）為焦點，直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動圓圓心C的軌跡方程是x²=4y；
（2）②證明：設(shè)直線AB方程為：y=kx+b，
代入拋物線方程，消去y得：x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b．
∵x₁x₂=-16，∴b=4．
∴直線AB過定點（0，4）；
②解：由拋物線定義知：|PA|=y₁+1，|PB|=y₂+1，
又y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16．
∴|PA|+|PB|=k（x₁+x₂）+10=4k²+10≥10（等號當(dāng)k=0時成立），
∴所求|PA|+|PB|的取值范圍是[10，+∞）．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解答直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常把直線與圓錐曲線聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，屬于中檔題．