Question

復數(shù)z=log₂（x²-3x-3）+ilog₂（x-3），設z在復平面上對應的點為Z。
（1）求證：復數(shù)z不能是純虛數(shù)；
（2）若點z在第三象限內(nèi)，求x的取值范圍；
（3）若點z在直線x-2y+1=0上，求x的值。

Answer 1

解：（1）證明：（反證法）假設z為純虛數(shù)，
則有l(wèi)og₂（x²- 3x-3）=0，
x²-3x-3=1，
解得x=-1，或x=4，
當x=-1時，log₂（x-3）無意義；
當x=4時，log₂（x-3）=0，
∴復數(shù)z不能是純虛數(shù)；
（2）由題意得
解得，
即當時，點Z在第i象限內(nèi)；
（3）由題意得log₂（x²-3x-3）-2log₂（x-3）+1=0，
解得x=，或（舍去），
即當時，
點Z在直線x-2y+1=0 上。