Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段AB，AD上．若3|MN|²+|CM|²+|CN|²=

9

2

，則|AM|+|AN|的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：設(shè)設(shè)AM=x，AN=y，（x≥0，y≥0），根據(jù)條件建立x，y滿(mǎn)足的方程，利用直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系求取值范圍．

解答： 解：設(shè)AM=x，AN=y，（x≥0，y≥0）
正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M，N分別在線(xiàn)段AB，AD上，
∴BM=1-x，DN=1-y，
由勾股定理，MN²=x²+y²，CM²=（1-x）²+1，CN²=1+（1-y）²，
代入已知式得若3|MN|²+|CM|²+|CN|²=

9

2

，
得3(x2+y2)+(1-x)2+1+1+(1-y)2=

9

2

，
即x2+y2-

1

2

x-

1

2

y=

1

8

，
∴(x-

1

4

)2+(y-

1

4

)2=

1

4

，（x≥0，y≥0）
則|AM|+|AN|=x+y，
設(shè)z=x+y，
由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)y=-x+z經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)z取得最小值z(mì)=0，
當(dāng)直線(xiàn)x+y-z=0與圓相切時(shí)，
圓心（

1

4

，

1

4

）到直線(xiàn)的距離d=

| 1 4 + 1 4 -z|

2

=

| 1 2 -z|

2

=

1

2

，

即|z-

1

2

|=

2

2

，
解得z=

1

2

+

2

2

=

1+ 2

2

或z=

1

2

-

2

2

=

1- 2

2

（舍去）
故0≤z≤

1+ 2

2

，
∴|AM|+|AN|的取值范圍是[0，

1+ 2

2

]．
故答案為：[0，

1+ 2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)題意將條件轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)和圓的位置分析是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合此類(lèi)問(wèn)題的常用方法．