Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過A（1，

6

3

）和點B（0，-1）．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設(shè)過點P（0，

3

2

）的直線l與橢圓G交于M，N兩點，且|BM|=|BN|，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得b=1，由

1

a2

+

( 6 3 )2

1

=1，得a²=3．由此能求出橢圓G的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+

3

2

．由

x2 3 +y2=1 y=kx+ 3 2

，得（k²+

1

3

）x²+3kx+

5

4

=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過A（1，

6

3

）和點B（0，-1）．
∴b=1，由

1

a2

+

( 6 3 )2

1

=1，得a²=3．
∴橢圓G的方程為

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）由題意知直線l的斜率k存在，且k≠0．
設(shè)直線l的方程為y=kx+

3

2

．
由

x2 3 +y2=1 y=kx+ 3 2

，消去y并整理得（k²+

1

3

）x²+3kx+

5

4

=0，…（5分）
由△=9k2-5(k2+

1

3

)＞0，k2＞

5

12

…（7分）
設(shè)M(x1，y1)，N(

x

2

，y2)，MN中點為Q（x₀，y₀），
得x0=

x1+y1

2

=-

9k

6k2+2

，y0=

y1+y2

2

=

3

6k2+2

，…（8分）
由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，
∴

y0+1

x0

•k=-1，即

3 6k2+2 +1

- 9k 6k2+2

•k=-1．
化簡得k2=

2

3

，滿足△＞0．∴k=±

6

3

，…（12分）
∴直線l的方程為y=±

6

3

x+

3

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意中點坐標公式的合理運用．