Question

已知正三棱錐的側棱長為2，底面周長為9，求這個棱錐的高及體積．

Answer 1

分析：由正三棱錐的底面周長可知底面△的邊長，可求出底面△ABC的面積，頂點S在底面ABC上的射影為△ABC的中心O，又在Rt△SOC中，由勾股定理求得高SO，這樣可以求得三棱錐的體積．

解答：解：如圖：∵S-ABC為正三棱錐        
∴S在平面ABC上的射影為△ABC的中心O．
又SC=2，△ABC的周長是L_△ABC=9，∴AB=3
∴CD=

3

2

•AB=

3 3

2

，CO=

2

3

•CD=

3

，
∴三棱錐的高SO=

SC2-CO2

=1；
所以，三棱錐的體積V_S-ABC=

1

3

S_△ABC×SO=

1

3

•

1

2

•3•3•sin60^°•1=

3 3

4

．

點評：本題考查了求三棱錐的體積，其關鍵是求底面積和高，求底面積時用到正弦定理的推論，求高時用到勾股定理，有綜合性．