Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)的導函數(shù)為，若有兩個不相同的零點．

① 求實數(shù)的取值范圍；

② 證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①，②見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）①通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可；

②問題轉(zhuǎn)化為證，即證，設(shè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

（1）的定義域為，且．

當時，成立，所以在為增函數(shù)；

當時，

（i）當時，，所以在上為增函數(shù)；

（ii）當時，，所以在上為減函數(shù)．

（2）①由（1）知，當時，至多一個零點，不合題意；

當時，的最小值為，

依題意知 ，解得．

一方面，由于，，在為增函數(shù)，且函數(shù)的圖

象在上不間斷．

所以在上有唯一的一個零點．

另一方面， 因為，所以．

，令，

當時，，

所以

又，在為減函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷．

所以在有唯一的一個零點．

綜上，實數(shù)的取值范圍是．

②設(shè)．

又則．

下面證明．

不妨設(shè)，由①知．

要證，即證．

因為，在上為減函數(shù)，

所以只要證．

又，即證．

設(shè)函數(shù)．

所以，所以在為增函數(shù).

所以，所以成立．

從而成立.

所以，即成立.