Question

已知函數(shù)f（x）=（k+

4

k

）lnx+

4-x2

x

，其中常數(shù)　k＞0．
（1）討論f（x）在（0，2）上的單調(diào)性；
（2）若k∈[4，+∞），曲線y=f（x）上總存在相異兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）使得曲線y=f（x）在M，N兩點處切線互相平行，求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，對k分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可得到f（x）在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性；
（2）利用過M、N點處的切線互相平行，建立方程，結(jié)合基本不等式，再求最值，即可求x₁+x₂的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

k+ 4 k

x

-

4

x2

-1=-

x2-(k+ 4 k )x+4

x2

=-

(x-k)(x- 4 k )

x2

，（x＞0，k＞0）
①當0＜k＜2時，

4

k

＞k＞0，且

4

k

＞2，
∴x∈（0，k）時，f′（x）＜0，x∈（k，2）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，k）上是減函數(shù)，在（k，2）上是增函數(shù)，；
②當k=2時，

4

k

=k=2，f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，
③∴當k＞2時，0＜

4

k

＜2，k＞

4

k

，
∴x∈（0，

4

k

）時，f′（x）＜0，x∈（

4

k

，2）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，

4

k

）上是減函數(shù)，在（

4

k

，2）上是增函數(shù)；
（2）由題意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂），
即

k+ 4 k

x1

-

4

x12

-1=

k+ 4 k

x2

-

4

x22

-1，
化簡得4（x₁+x₂）=（k+

4

k

）x₁x₂，
而x₁x₂＜(

x1+x2

2

)2，
4（x₁+x₂）＜（k+

4

k

）(

x1+x2

2

)2，
即x₁+x₂＞

16

k+ 4 k

對k∈[4，+∞）恒成立，
令g（k）=k+

4

k

，
則g′（k）=1-

4

k2

=

(k+2)(k-2)

k2

＞0對k∈[4，+∞）恒成立，
∴g（k）≥g（4）=5，
∴

16

k+ 4 k

≤

16

5

，
∴x₁+x₂＞

16

5

，
故x₁+x₂的取值范圍為（

16

5

，+∞）

點評：本題運用導(dǎo)數(shù)可以解決曲線的切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導(dǎo)是我們解題的關(guān)鍵，屬于中檔題