已知向量
a1
=(1，-7)，
d
=(1，1)，對任意n∈N*都有
an+1
=
an
+
d
．
（1）求|
an
|的最小值；
（2）求正整數(shù)m，n，使
am
⊥
an
．
考點：數(shù)列與向量的綜合
專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應用
分析：（1）設
an
=（xn，yn），由
.
an+1
=
.
an
+
.
d
，可得{xn}、{yn}都是公差為1的等差數(shù)列，求出
.
an
=（n，n-8），即可求|
an
|的最小值；
（2）
am
⊥
an
等價于
.
am
•
.
an
=0，可得（m-4）（n-4）=-16，即可求出正整數(shù)m，n．
解答： 解：（1）設
an
=（xn，yn），由
.
an+1
=
.
an
+
.
d
得
xn+1=xn+1
yn+1=yn+1

∴{xn}、{yn}都是公差為1的等差數(shù)列…．（3分）
∵
.
a1
=（1，-7），
∴xn=n，yn=n-8，
∴
.
an
=（n，n-8），
∴|
.
an
|=
n2+(n-8)2
=
2(n-4)2+32
≥4
2

∴|
.
an
|的最小值為4
2
…..（6分）
（2）由（1）可設
.
am
=（m，m-8）
.
an
=（n，n-8）
由已知得：
.
am
•
.
an
=0
∴mn+（m-8）（n-8）=0
∴（m-4）（n-4）=-16…..（8分）
∵m，n∈N+
∴
m=2
n=12
或
m=3
n=20
或
m=12
n=2
或
m=20
n=3
…..（12分）
點評：本題考查數(shù)列與向量的綜合，考查等差數(shù)列的通項，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，
AM
=m
AB
，
AN
=n
AD
（m•n≠0），若
MN
∥
BE
，則
n
m
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某四棱錐的三視圖如圖所示（單位：cm），則該四棱錐的體積是（　�。�
A、27cm3
B、9cm3
C、3
2
cm3
D、3cm3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+3-
3
a-a2（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)y=f（x）圖象的頂點為P，A（0，2），O（0，0），當∠APO最大時，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理科學生做）已知點P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），（n為正整數(shù)）都在函數(shù)y=(
1
2
)x的圖象上．
（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）設an=n(n∈N*)，過點An（an+2，0），Bn（0，（n+2）bn+1）的直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為cn，試求最小的實數(shù)t，使cn≤t對一切正整數(shù)n恒成立；
（3）對（2）中的數(shù)列{an}，對每個正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入3k-1個3，得到一個新的數(shù)列{dn}，設Sn是數(shù)列{dn}的前n項和，試探究2014是否是數(shù)列{Sn}中的某一項，寫出你探究得到的結論并給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為0的函數(shù)，且對于任意的a，b∈R，都滿足f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）、f（1）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）（文科）若f（2）=2，un=f（2n）（n∈N*），求證：un+1＞un（n∈N*）．
（3）（理科）若f（2）=2，un=
f(2-n)
n
(n∈N*)，求數(shù)列un的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在一條筆直的工藝流水線上有n個工作臺，將工藝流水線用如圖所示的數(shù)軸表示，各工作臺的坐標分別為x1，x2，…，xn，每個工作臺上有若干名工人．現(xiàn)要在流水線上建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．

（Ⅰ）若n=2，每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作臺從左到右的人數(shù)依次為3，2，1，2，2，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

橢圓
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0）的焦點在x軸上，左焦點為（-c，0），其右頂點關于直線x-y+4=0的對稱點在直線x=-
4
c
上，
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左焦點F的直線l交橢圓于A、B兩點，交直線x=-
4
c
于點C，設O為坐標原點，且
OA
+
OC
=2
OB
，求△OAB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，點P在邊BC上沿B→C運動，則△ABP的面積小于4的概率為
 
．

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同步練習冊答案