Question

已知O為坐標原點，點M（1+cos2x，1），N（1，

3

sin2x+a）（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），且y=

OM

-

ON

，
（Ⅰ）求y關于x的函數(shù)關系式y(tǒng)=f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，求a的值，并說明此時f（x）的圖象可由y=2sin（x+

π

6

）的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）利用向量的坐標運算求出解析式，再利用恒等變換求出結果．
（2）先根據(jù)函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，再求出a，最后進行恒等變換（平移和伸縮）求出結果．

解答： 解：（1）依題意得：

OM

=(1+cos2x，1)，

ON

=(1，

3

sin2x)+a
因為：y=

OM

-

ON

∴y=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a（x∈R，a∈R，a是常數(shù)）
（2）若x∈[0，

π

2

]，則 (2x+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

]，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
此時y_max=2+1+a=4∴a=1
故f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2的圖象可由y=2sin(x+

π

6

)的圖象上的點縱坐標不變，橫坐標縮小為原來的

1

2

倍，得到y=2sin(2x+

π

6

)的圖象；
再將y=2sin(2x+

π

6

)的圖象上的點橫坐標不變，縱坐標向上平移1個單位長度得到．

點評：本題考查的知識點：向量的坐標運算，三角函數(shù)的恒等變換，利用值域求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象的變換．屬于基礎題．