【題目】如圖所示,,分別為橢圓的左,右焦點,橢圓上點的橫坐標等于右焦點的橫坐標,其縱坐標等于短半軸長的,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c,可得M(c,b),利用勾股定理與橢圓的定義建立關于a、b、c的等式,化簡整理得ba,從而得出ca,即可算出該橢圓的離心率.
設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c,
可得焦點為F1(﹣c,0)、F2(c,0),點M的坐標為(c,b),
∵Rt△MF1F2中,F1F2⊥MF2,
∴|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2b2=|MF1|2,
根據(jù)橢圓的定義得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1|2=(2a﹣|MF2|)2=(2ab)2,
∴(2ab)2=4c2b2,整理得4c2=4a2ab,
可得3(a2﹣c2)=2ab,所以3b2=2ab,解得ba,
∴ca,因此可得e,
即該橢圓的離心率等于.
故選:A.
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為且經(jīng)過點P(2,).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的左右頂點分別為A,B,過點A斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點D,交y軸于點E.是否存在定點Q,對于任意的k(k≠0)都有BD⊥EQ,若存在,求△AQD的面積的最大值;若不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,動點分別與兩個定點,的連線的斜率之積為.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)設過點的直線與軌跡交于,兩點,判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關系,并說明理由.
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【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________.
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【題目】設函數(shù).
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當時,試判斷零點的個數(shù);
(Ⅲ)當時,若對,都有()成立,求的最大值.
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【題目】設橢圓的左焦點為,上頂點為.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設點在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點為直線與軸的交點,點在軸的負半軸上.若(為原點),且,求直線的斜率.
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【題目】若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù),且函數(shù)y=在區(qū)間D上是減函數(shù),則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的“H函數(shù)”.對于命題:
①函數(shù)f(x)=-x+是區(qū)間(0,1)上的“H函數(shù)”;
②函數(shù)g(x)=是區(qū)間(0,1)上的“H函數(shù)”.下列判斷正確的是( 。
A. 和均為真命題 B. 為真命題,為假命題
C. 為假命題,為真命題 D. 和均為假命題
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【題目】李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.
①當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為__________.
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