Question

已知F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，過點F₂作直線PF₂的垂線交直線x=4于點Q．
（1）當(dāng)PF₁⊥F₁F₂時，求點Q坐標(biāo)；
（2）判斷直線PQ與直線OP的斜率之積是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由；
（3）證明：直線PQ與橢圓C只有一個公共點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系

專題：計算題,作圖題,證明題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）作出圖形，由題意可求出點P的坐標(biāo)，由△PF₁F₂∽△F₂EQ可得點Q（4，4）或（4，-4）；
（2）作出圖形，設(shè)點P（a，b），點Q（4，y），F(xiàn)₂（1，0）；由PF₂⊥QF₂可得y=-3

a-1

b

，從而求直線PQ與直線OP的斜率，化簡可得k_PQ=-

3a

4b

，k_OP=

b

a

，故k_OP×k_QP=-

3

4

；
（3）由（2）知，直線PQ的方程為：y-b=-

3a

4b

（x-a），與橢圓方程聯(lián)立化簡，借助3a²+4b²=12可將方程簡化為3x²-6ax+12-4b²=0，從而求△=（6a）²-4×3（12-4b²）=0，則證明結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，作圖如右：
由

1

4

+

y2

3

=1可得，y=±

3

2

，
則點P（-1，

3

2

），
則|PF₁|=

3

2

，|F₁F₂|=2；
則由△PF₁F₂∽△F₂EQ知，

|F2E|

|PF1|

=

|QE|

|F2F1|

，
即

3

3 2

=

|QE|

2

，
解得，|QE|=4，
則點Q（4，4）或（4，-4）；
（2）由題意，如右圖：
設(shè)點P（a，b），點Q（4，y），F(xiàn)₂（1，0）；
則由PF₂⊥QF₂知，

b-0

a-1

•

y-0

4-1

=-1，
化簡得，y=-3

a-1

b

，
則k_PQ=

b-(-3 a-1 b )

a-4

=

b2+3(a-1)

b(a-4)

，
又∵

a2

4

+

b2

3

=1，
∴b2=3(1-

a2

4

)，
∴k_PQ=

-3a(a-4)

4b(a-4)

=-

3a

4b

，
又∵k_OP=

b

a

，
∴k_OP×k_QP=-

3

4

，
即直線PQ與直線OP的斜率之積為定值-

3

4

．
（3）證明：由題意，直線PQ的方程為：y-b=-

3a

4b

（x-a），
即y=-

3a

4b

x+

3a

4b

a+b=-

3a

4b

x+

3

b

，
與

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立消y，
由

a2

4

+

b2

3

=1可化為3a²+4b²=12，
將3a²+4b²=12代入化簡可得，
3x²-6ax+12-4b²=0，
則△=（6a）²-4×3（12-4b²）
=12（3a²-12+4b²）=0，
故方程有一個根，
即直線PQ與橢圓C只有一個公共點．

點評：本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，利用到了三角形的相似比，線線垂直的特征及直線的斜率的求法等，化簡非常難，注意要細(xì)心，屬于難題．