Question

已知當x∈（-1，1）時，不等式3ax²+3ax-1≤0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：要使不等式恒成立，只需函數(shù)在（-1，1）上的最大值小于或等于零即可，然后對所涉及的函數(shù)進行討論即可解決問題．

解答： 解：（1）a=0時，3ax²+3ax-1=-1≤0恒成立，故a=0；
（2）若a＞0，記f（x）=3ax²+3ax-1為開口向上的拋物線，其對稱軸為x=-

1

2

，當x∈（-1，1）時，f（x）_max=f（1）=3a+3a-1≤0，解得0＜a≤

1

6

；
（3）若a＜0，記f（x）=3ax²+3ax-1為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=-

1

2

，當x∈（-1，1）時，f(x)max=f(-

1

2

)=

3

4

a-

3

2

a-1≤0，解得-

4

3

≤a＜0．
綜上可得所求a的范圍是[-

4

3

，

1

6

]．

點評：本題考查了不等式恒成立問題的解題思路，一般的轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解，此題屬于函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，要注意討論函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性．