Question

已知直線l經過拋物線y²=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．
（1）若|AF|=4，求點A的坐標；
（2）設直線l的斜率為k，當線段AB的長等于5時，求k的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)焦半徑公式求出A點的坐標；
（2）將直線的方程給出來，然后利用韋達定理結合弦長公式求解即可．

解答： 解：由y²=4x得焦點F（1，0），準線方程為x=-1．
（1）設A（x₁，y₁），所以|AF|=x₁+1=4，所以x₁=3，代入y²=4x得y₁=±2

3

．
所以A（3，±2

3

）．
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），代入y²=4x整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
再設B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

．
所以|AB|=x₁+x₂+2=5，所以x₁+x₂=

2k2+4

k2

=3．
k²=4．所以k=±2．

點評：本題考查了拋物線的定義及其幾何性質，以及直線與拋物線的位置關系．直線與拋物線的位置關系問題，一般是將直線方程代入拋物線方程消元得到關于x的一元二次方程，然后借助于韋達定理解決后續(xù)問題．