Question

設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=

x-4y

x+y

，則實(shí)數(shù)y的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=

x-4y

x+y

，化為yx²+（y²-1）x+4y=0，由于關(guān)于x的方程有正實(shí)數(shù)根，可知△≥0．又x₁x₂=

4y

y

=4＞0，可知x₁與x₂同號(hào)，必有x1+x2=

1-y2

y

＞0，解得0＜y＜1．再利用△≥0．解出即可．

解答： 解：正實(shí)數(shù)x，y滿足xy=

x-4y

x+y

，
化為yx²+（y²-1）x+4y=0，
∵關(guān)于x的方程有正實(shí)數(shù)根，∴△≥0．
又x₁x₂=

4y

y

=4＞0，∴x₁與x₂同號(hào)，
∴x1+x2=

1-y2

y

＞0，解得0＜y＜1．
由△≥0．
∴（y²-1）²-16y²≥0，
∴（y²+4y-1）（y²-4y-1）≥0．
∵0＜y＜1，∴y²-4y-1＜0，
∴y²+4y-1≤0，
解得0＜y≤

5

-2．
∴實(shí)數(shù)y的取值范圍是（0，

5

-2]
故答案為：（0，

5

-2]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程有正實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．