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【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）證明：當時，關于的不等式恒成立；

（3）若正實數滿足，證明．

【答案】（1）單調減區(qū)間為，函數的增區(qū)間是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導函數，從而可確定函數的單調性；（2）構造函數，利用導數研究其最值，將恒成立問題進行轉化；（3）將代數式放縮，構造關于的一元二次不等式，解不等式即可．

試題解析：（1），由，得，

又，所以，所以的單調減區(qū)間為，函數的增區(qū)間是，

（2）令，

所以

因為，

所以，令，得，

所以當；當時，，

因此函數在是增函數，在是減函數，

故函數的最大值為

令，因為，又因為在是減函數，

所以當時，，即對于任意正數總有，

所以關于的不等式恒成立；

（3）由，

即，

從而

令，則由得，，

可知在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

所以，所以，又，

因此成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，為的中點．

（1）求異面直線，所成角的余弦值；

（2）點在線段上，且，若直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數據的莖葉圖如圖7.

（1）根據莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；

（2）計算甲班的樣本方差；

（3）現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學，求身高為176cm的同學被抽中的概率。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的方程為：（，為常數）

（Ⅰ）判斷曲線的形狀；

（Ⅱ）設直線與曲線交于不同的兩點、，且，求曲線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某單位每天的用電量（度）與當天最高氣溫（℃）之間具有線性相關關系，下表是該單位隨機統(tǒng)計4天的用電量與當天最高氣溫的數據.

最高氣溫(℃)

26

29

31

34

用電量 (度)

22

26

34

38

（Ⅰ）根據表中數據，求出回歸直線的方程（其中）；

（Ⅱ）試預測某天最高氣溫為33℃時，該單位當天的用電量（精確到1度）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為，動點滿足：直線與直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）過點作兩條互相垂直的射線，與（1）的軌跡分別交于兩點，求面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)＝sin－2·sin2x.

(1) 求函數f(x)的最小正周期；

(2) 求函數f(x)圖象的對稱軸方程、對稱中心的坐標；

(3) 當0≤x≤時，求函數f(x)的最大、最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點,直線,動點到點的距離等于它到直線的距離.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）是否存在過的直線,使得直線被曲線截得的弦恰好被點所平分？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C:的離心率為，點在橢圓C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設動直線與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點，（兩點均不在坐標軸上），且使得直線， 的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由.

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