P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，
AB
=（2，-1，-4），
AD
=（4，2，0），
AP
=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對于向量
a
=（x1，y1z1），
b
=(x2y2z2)，
c
=(x3y3z3)，定義一種運算：(
a
×
b
)•
c
=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2z3-x3y2z1，試計算(
AB
×
AD
)-
AP
的絕對值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系，并由此猜想向量這種運算(
AB
×
AD
)-
AP
的絕對值的幾何意義．
（1）
AP
•
AB
=(2，-1，-4)•(-1，2，-1)=-2+(-2)+4=0，∴
AP
⊥
AB
，即AP⊥AB．
AP
•
AD
=(-1，2，-1)•(4，2，0)=-4+4+0=0，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2）|(
AB
×
AD
)•
AP
|=48，又cos?
AB
•
AD
＞=
3
105
，
V=
1
3
|
AB
|•|
AD
|•sin?
AB
•
AD
＞•|
AP
|=16
猜測：|(
AB
×
AD
)•
AP
|在幾何上可表示以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積（或以AB，AD，AP為棱的四棱柱的體積）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知如圖，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求證：平面ABC⊥平面PBC

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)兩不同直線a，b的方向向量分別是
e1
，
e2
，平面α的法向量是
n
，
則下列推理①
e1
∥
e2
e1
∥
n
⇒b∥α；②
e1
∥
n
e1
∥
n
⇒a∥b；③
e1
∥
n
b?α
e1
⊥
e2
⇒b∥α；④
e1
∥
e2
e1
∥
n
⇒b⊥α；
其中正確的命題序號是（　�。�
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

△ABC的三個頂點分別是A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），則AC邊上的高BD長為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為
π
4
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（　　）
A．
14
6
B．
5
5
C．
22
6
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，己知平行四邊形1BCD中，∠B1D=6三°，1B=6，1D=3，G為CD中點，現(xiàn)將梯形1BCG沿著1G折起到1FoG．
（1）求證：直線Co∥平面1BF；
（2）如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD=
2
，E是BC中點，點Q在側(cè)棱PC上．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）若Q是PC中點，求二面角E-DQ-C的余弦值；
（Ⅲ）若
PQ
PC
=λ，當(dāng)PA∥平面DEQ時，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，∠ABC=120°，Q是AC上的點，AB1∥平面BC1Q．
（Ⅰ）確定點Q在AC上的位置；
（Ⅱ）若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為
2
4
，求二面角Q-BC1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線a、b、c與平面α.給出:
①a⊥c,b⊥ca∥b;②a∥c,b∥ca∥b;③a∥α,b∥αa∥b;④a⊥α,b⊥αa∥b.其中正確命題的個數(shù)是(　　)
A．1B．2C．3D．4

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同步練習(xí)冊答案