【題目】如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，給出以下命題：

①異面直線C1P與B1C所成的角為定值；

②二面角P－BC1－D的大小為定值；

③三棱錐D－BPC1的體積為定值；

④異面直線A1P與BC1間的距離為定值．

其中真命題的個數(shù)為________．

【答案】4

【解析】對于①，因為在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，

在正方體中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，

所以這兩個異面直線所成的角為定值90°，故①正確；

對于②，因為二面角P－BC1－D為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角，

而這兩個平面為固定不變的平面，

所以夾角也為定值，故②正確；

對于③，三棱錐D－BPC1的體積還等于三棱錐P－DBC1的體積，

而△DBC1面積一定，

又因為P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，

所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離，

所以三棱錐的體積為定值，故③正確；

對于④，因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1，

平面BCC1B1中，且這兩個平面平行，

由異面直線間的距離定義及求法，

知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離，

所以這兩個異面直線間的距離為定值，故④正確．

綜上知，真命題的個數(shù)為4.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】如果函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：

①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

②函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

③函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增；

④當x＝2時，函數(shù)y＝f(x)有極小值；

⑤當x＝時，函數(shù)y＝f(x)有極大值．

則上述判斷中正確的是(　　)

A. ①② B. ②③

C. ③④⑤ D. ③

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【題目】在正四棱錐中，已知異面直線與所成的角為，給出下面三個命題:

:若，則此四棱錐的側(cè)面積為；

：若分別為的中點，則平面；

:若都在球的表面上，則球的表面積是四邊形面積的倍.

在下列命題中，為真命題的是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在[－1,1]上的奇函數(shù)，在[0,1]上f(x)＝2x＋ln(x＋1)－1.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；并判斷f(x)在[－1,1]上的單調(diào)性(不要求證明)；

(2)解不等式f(2x－1)＋f(1－x2)≥0.

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝ (其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，常數(shù)a＞0)．

(1)當a＝1時，求曲線在(0，f(0))處的切線方程；

(2)若存在實數(shù)x∈(a,2]，使得不等式f(x)≤e2成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連接AB，BE，如圖②所示，設(shè)點F是AB的中點．

(1)求證：DE⊥平面BCD；

(2)若EF∥平面BDG，其中G為AC上一點，求三棱錐B－DEG的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）證明： ，直線都不是曲線的切線；

（2）若，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， （為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，試求的取值范圍；

（Ⅲ）當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù)， ．

（1）曲線在點處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；

（2）記．

（i）討論的單調(diào)性；

（ii）若， 為在上的最小值，求證： ．

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