Question

6．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是（　　）

• A． f（x）=x²-x
• B． f（x）=$\frac{1}{x}$+x
• C． f（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$
• D． f（x）=x|x|

Answer 1

分析 作為選擇題可選用排除法，如C為偶函數(shù)，A非奇非偶，B是奇函數(shù)，但不單調(diào)，可用具體驗證不是單調(diào)函數(shù)，自然就選D．

解答 解：A、f（x）=x²-x為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件；
B、f（x）=$\frac{1}{x}$+x滿足f（-x）=-f（x），為奇函數(shù)，在（0，1）為減函數(shù)；
C、f（x）=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$滿足f（-x）=f（x），為偶函數(shù)，不滿足條件；
D、f（x）=x|x|滿足f（-x）=-f（x），為奇函數(shù)，不滿足條件；
且x＞0時，f（x）=x²在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，滿足條件．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，判斷單調(diào)性可用多種方法，證明時只能用單調(diào)性定義和導數(shù)法．