若Sn=sin
π
7
+sin
2π
7
+…+sin
nπ
7
（n∈N*），在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是
86
86
．
分析：由sin
π
7
＞0，sin
2π
7
＞0，…，sin
6π
7
＞0，sin
7π
7
=0，sin
8π
7
＜0，…，sin
13π
7
＜0，sin
14π
7
=0，可得到S1＞0，…S13＞0，而S14=0，從而可得到周期性的規(guī)律，從而得到答案．
解答：解：∵sin
π
7
＞0，sin
2π
7
＞0，…，sin
6π
7
＞0，sin
7π
7
=0，sin
8π
7
＜0，…，sin
13π
7
＜0，sin
14π
7
=0，
∴S1=sin
π
7
＞0，
S2=sin
π
7
+sin
2π
7
＞0，
…，
S8=sin
π
7
+sin
2π
7
+…+sin
6π
7
+sin
7π
7
+sin
8π
7
=sin
2π
7
+…+sin
6π
7
+sin
7π
7
＞0，
…，
S12＞0，
而S13=sin
π
7
+sin
2π
7
+…+sin
6π
7
+sin
7π
7
+sin
8π
7
+sin
9π
7
+…+sin
13π
7
=0，
S14=S13+sin
14π
7
=0+0=0，
又S15=S14+sin
15π
7
=0+sin
π
7
=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7項，
∴在S1，S2，…，S100中，為0的項共有14項，其余項都為正數(shù)．
故在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是86．
故答案為：86．
點評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，通過分析sin
nπ
7
的符號，找出S1，S2，…，S100中，S14n-1=0，S14n=0是關(guān)鍵，也是難點，考查學生分析運算能力與冷靜堅持的態(tài)度，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

附加題（10分，總分120以上有效）
（1）設函數(shù)f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，則a1+a2+…+a7=
21
21

（2）若Sn=sin
π
7
+sin
2π
7
+…+sin
nπ
7
（n∈N+），則在S1，S2，…S100中，正數(shù)的個數(shù)是
86
86
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海）若Sn=sin
π
7
+sin
2π
7
+…+sin
nπ
7
（n∈N*），則在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若Sn=sin
π
7
+sin
2π
7
+…+sin
nπ
7
(n∈N*)，則在S1，S2，…，S2013中，正數(shù)的個數(shù)是
1728
1728
．

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