Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax．
（1）設(shè)f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）當(dāng)a≤0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a=-1時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)x=0是f（x）的一個極值點，可得f'（0）=0，從而可求a的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，再對a進(jìn)行討論，利用f'（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
f'（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x²）＜x，進(jìn)而可證得結(jié)論．
解答：解：（1），
因為x=0是f（x）的一個極值點，所以f'（0）=0，
∴a=0
此時，可知x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合條件…（4分）
（2）因為
①當(dāng)a=0時，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；…（5分）
②當(dāng)即當(dāng)a≤-1時，f'（x）≤0對x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；…（7分）
③當(dāng)-1＜a＜0時，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴，
∴f（x）在上單調(diào)遞增，
同理得，f（x）在和上單調(diào)遞減；…（9分）
（3）由（2）知，當(dāng)a=-1時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，由f（x）=ln（1+x²）-x＜f（0）=0⇒ln（1+x²）＜x…（10分）
從而有：
∴…（12分）
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)．