【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若對(duì)于任意的，，有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）求出，然后分、、、四種情況討論

（2）不妨設(shè)，則可化為，構(gòu)造函數(shù)，然后條件可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后利用二次函數(shù)的知識(shí)即可求出答案.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

．

①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

②若，則當(dāng)或時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

③若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

④若，則當(dāng)或時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

綜上所述，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增，

在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上均單調(diào)遞增，

在區(qū)間上單調(diào)遞減．

（2）不妨設(shè)，

則可化為．

令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以在區(qū)間上恒成立．

即在區(qū)間上恒成立．（*）

因?yàn)?/span>，所以，

所以，要使（*）成立，只需，

解得．

故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】小軍的微信朋友圈參與了“微信運(yùn)動(dòng)”，他隨機(jī)選取了40位微信好友（女20人，男20人），統(tǒng)計(jì)其在某一天的走路步數(shù).其中，女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下：

5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860

8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980

男性好友走路的步數(shù)情況可分為五個(gè)類(lèi)別（說(shuō)明：m～n表示大于等于m，小于等于n）：A（0～2000步）1人，B（2001～5000步）2人，C（5001～8000步）3人，D（8001～10000步）6人，E（10001步及以上）8人.若某人一天的走路步數(shù)超過(guò)8000步被系統(tǒng)認(rèn)定為“健康型”，否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“進(jìn)步型”.

（1）請(qǐng)根據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)此判斷能否有95％以上的把握認(rèn)為“認(rèn)定類(lèi)型”與“性別”有關(guān)？

健康型

進(jìn)步型

總計(jì)

男

20

女

20

總計(jì)

40

（2）從小軍的40位好友中該天走路步數(shù)不超過(guò)5000的中隨機(jī)抽取3人，若表示抽到的三人分別是x，y，z，試用該表示法列舉出試驗(yàn)所有可能的結(jié)果.若記“恰好抽到了一位女性好友”為事件A，求事件A的概率.

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

AQI

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

重度污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.

（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；

（ii）試問(wèn)該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過(guò)2.88萬(wàn)元？說(shuō)明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．

(1)寫(xiě)出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖1，在直角梯形中，E，F分別為的三等分點(diǎn)，，，，，若沿著，折疊使得點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，如圖2所示，連結(jié)，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽(yáng)光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽(yáng)光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表：

黃赤交角

正切值

0.439

0.444

0.450

0.455

0.461

年代

公元元年

公元前2000年

公元前4000年

公元前6000年

公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是( )

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，則稱(chēng)區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”為，已知函數(shù)，則（ ）

A.是的一個(gè)“完美區(qū)間”

B.是的一個(gè)“完美區(qū)間”

C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為

D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長(zhǎng)度”的和為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分10分）選修4—4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線，直線：（為參數(shù)）.

（I）寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程，直線的普通方程；

（II）過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線，交于點(diǎn)，的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市2013年至2019年新能源汽車(chē)y（單位：百臺(tái)）的數(shù)據(jù)如下表：

（Ⅰ）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該市2021年新能源汽車(chē)臺(tái)數(shù)；

（Ⅱ）該市某公司計(jì)劃投資600臺(tái)“雙槍同充”（兩把充電槍?zhuān)?/span>“一拖四群充”（四把充電槍?zhuān)┑膬煞N型號(hào)的直流充電樁．按要求，充電槍的總把數(shù)不少于該市2021年新能源汽車(chē)預(yù)測(cè)臺(tái)數(shù)，若雙槍同充、一拖四群充的每把充電槍的日利潤(rùn)分別為25元，10元，問(wèn)兩種型號(hào)的充電樁各安裝多少臺(tái)時(shí)，才能使日利潤(rùn)最大，求出最大日利潤(rùn).

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為

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