Question

【題目】已知無窮數列{an}（an∈Z）的前n項和為Sn，記S1，S2，…，Sn中奇數的個數為bn．

（1）若an=n，請寫出數列{bn}的前5項；

（2）求證：“a1為奇數，ai（i=2，3，4，…）為偶數”是“數列{bn}是單調遞增數列”的充分不必要條件；

（3）若ai=bi，i=1，2，3，…，求數列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3．(2)證明見解析；(3) an=0

【解析】

（1）當時,,由此能寫出數列的前5項

（2）先證充分性,推導出,從而數列是單調遞增數列；再證不必要性,當數列中只有是奇數,其余項都是偶數時,為偶數,（）均為奇數,,數列是單調遞增數列,由此能證明：“是奇數,為偶數”是“數列是單調遞增數列”的充分不必要條件

（3）當為奇數時,推導出不能為偶數；當為偶數,推導出不能是奇數,從而與同奇偶,由此得到

（1）當時,可知數列是等差數列,則,

∴,,,,

∴,,,,

（2）證明：（充分性）

∵是奇數,為偶數,

∴對于任意,都是奇數,

∴,

∴數列是單調遞增數列

（不必要性）

當數列中只有是奇數,其余項都是偶數時,為偶數,（）均為奇數，

∴,數列是單調遞增數列,

∴“是奇數,為偶數”是“數列是單調遞增數列”的不必要條件

綜上，“是奇數,為偶數”是“數列是單調遞增數列”的充分不必要條件

（3）（i）當為奇數時,若為偶數,

若是奇數,則為奇數,∴為偶數,與矛盾；

若為偶數,則為偶數,∴為奇數,與矛盾

∴當為奇數時,不能為偶數

（ii）當為偶數,若為奇數,

若為奇數,則為偶數,∴為偶數,與矛盾,

若為偶數,則為奇數,∴為奇數,與矛盾,

∴當為偶數時,不能是奇數

綜上,與同奇偶,

∵為偶數,且,∴,

∵,且,∴,

以此類推,得到