Question

17．在某校組織的“共筑中國夢”競賽活動中，甲、乙兩班各有6名選手參賽，在第一輪筆試環(huán)節(jié)中，評委將他們的筆試成績作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成如圖所示的莖葉圖，為了增加結(jié)果的神秘感，主持人故意沒有給出甲、乙兩班最后一位選手的成績，只是告訴大家，如果某位選手的成績高于90分（不含90分），則直接“晉級”
（Ⅰ）求乙班總分超過甲班的概率
（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位選手的得分是90分，乙班第六位選手的得分是97分
①請你從平均分光和方差的角度來分析兩個班的選手的情況；
②主持人從甲乙兩班所有選手成績中分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先分別求出甲班前5位選手的總分和乙班前5位選手的總分，由此利用列舉法能求出乙班總分超過甲班的概率．
（Ⅱ）①分別求出甲、乙兩班平均分和方差，由此能求出甲班選手間的實力相當，相差不大，乙班選手間實力懸殊，差距較大．
②ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（Ⅰ）甲班前5位選手的總分為88+89+90+91+92=450，
乙班前5位選手的總分為82+84+92+91+94=443，
若乙班總分超過甲班，則甲、乙兩班第六位選手的成績可分別為：
（90，98），（90，99），（91，99），共三個，
∴乙班總分超過甲班的概率為p=$\frac{3}{10×10}$=$\frac{3}{100}$．
（Ⅱ）①甲班平均分為$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{6}$（88+89+90+91+92+90）=90，
乙班平均數(shù)為$\overrightarrow{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{6}$（82+84+92+91+94+97）=90，
甲班方差為S²_甲=$\frac{1}{6}$（2²+1²+1²+2²）=$\frac{5}{3}$，
乙班方差為S²_乙=$\frac{1}{6}$（8²+6²+2²+1²+4²+7²）=$\frac{85}{3}$，
兩班的平均分相同，但甲班選手的方差小于乙班，
故甲班選手間的實力相當，相差不大，乙班選手間實力懸殊，差距較大．
②ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{101}{225}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{56}{225}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{225}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{6}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{101}{225}$	$\frac{56}{225}$	$\frac{6}{225}$

∴E（ξ）=$0×\frac{6}{225}+1×\frac{56}{225}+2×\frac{101}{225}+3×\frac{56}{225}+4×\frac{6}{225}$=2．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．