Question

【題目】函數(shù)，且在處的切線斜率為.

(1)求的值，并討論在上的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù) ，其中，若對任意的總存在，使得成立，求的取值范圍

（3）已知函數(shù)，試判斷在內(nèi)零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.（3）1個零點

【解析】試題分析：

(1)由函數(shù)的解析式可得f′(x)＝(a－1)sin x＋axcos x，由可得，利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性可得f(x)在， 上單調(diào)遞增；在， 上單調(diào)遞減．

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論可知f(x)min＝f(0)＝1，則g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立．且g′(x)＝ (x≥0，m>0)，據(jù)此討論可知m≥2時滿足題意，當(dāng)0<m<2時不合題意，則的取值范圍是m≥2.

(3)由函數(shù)的解析式可得： ，構(gòu)造函數(shù)，則，據(jù)此討論可得存在，當(dāng)時， 單調(diào)遞增，當(dāng)時， 單調(diào)遞減，結(jié)合端點函數(shù)在可得在內(nèi)零點的個數(shù)為1個.

試題解析：

(1)∵f′(x)＝asin x＋axcos x－sin x＝(a－1)sin x＋axcos x，

f　′＝(a－1)·＋·a·＝，

∴a＝1，f′(x)＝xcos x.

當(dāng)f′(x)>0時，－π<x<－或0<x<；

當(dāng)f′(x)<0時，－<x<0或<x<π，

∴f(x)在，上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減．

(2)當(dāng)x∈[0，]時，f(x)單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(0)＝1，

則只需g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立即可．

g′(x)＝ (x≥0，m>0)，

①當(dāng)m≥2時，≥0，∴g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(0)＝1，∴g(x)≥1在x∈[0，＋∞)上恒成立，故m≥2時成立．

②當(dāng)0<m<2時，當(dāng)x∈時，g′(x)<0，此時g(x)單調(diào)遞減，∴g(x)<g(0)＝1，故0<m<2時不成立．

綜上m≥2.

(3)由函數(shù)的解析式可得： ，

令，則，故函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)從右側(cè)趨近于時， ， ，

故存在，滿足，

當(dāng)時， 單調(diào)遞增，

當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

且： ， ，

函數(shù)圖象如圖所示：

據(jù)此可得： 在內(nèi)零點的個數(shù)為1個.