Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+ax-2{a^2}$lnx（a≠0）．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）先求出函數(shù)的定義域，進而根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可得結(jié)論；
（II）若f（x）＞0恒成立，則f（x）的最小值大于0，根據(jù)（I）中結(jié)論，求出函數(shù)的最小值，代入構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍

解答 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）=x+a-\frac{{2{a^2}}}{x}=\frac{{{x^2}+ax-2{a^2}}}{x}=\frac{{（{x+2a}）（{x-a}）}}{x}$
（1）當a＜0時，在（0，-2a）上f'（x）＜0，在（-2a，+∞）上f'（x）＞0．
因此，f（x）在（0，-2a）上遞減，在（-2a，+∞）上遞增．
（2）當a＞0時，在（0，a）上f'（x）＜0，在（a，+∞）上f'（x）＞0．
因此，f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增．
（II）由（I）知：a＜0時，$f{（x）_{min}}=f（{-2a}）=2{a^2}-2{a^2}-2{a^2}ln（{-2a}）=-2{a^2}ln（{-2a}）$
由f（x）＞0得：$ln（{-2a}）＜0⇒0＜-2a＜1⇒-\frac{1}{2}＜a＜0$，
當a＞0時，$f{（x）_{min}}=f（a）=\frac{1}{2}{a^2}+{a^2}-2{a^2}lna=\frac{3}{2}{a^2}-2{a^2}lna$
由f（x）＞0得：$\frac{3}{2}{a^2}-2{a^2}lna＞0⇒lna＜\frac{3}{4}⇒0＜a＜{e^{\frac{3}{4}}}$
綜上得：$a∈（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{0，{e^{\frac{3}{4}}}}）$．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，其中熟練掌握參數(shù)的處理方法與技巧，是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．