Question

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，

AD＝PD＝2EA＝2，F(xiàn), G, H分別為BP, BE, PC的中點。

（1）求證：平面FGH⊥平面AEB；

（2）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．
又因為CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．…3分

由已知F，H分別為線段PB，PC的中點，所以FH∥BC，則FH⊥平面ABE．……5分

而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．

（2）在線段PC上存在一點M，使PB⊥平面EFM．證明如下：在直角三角形AEB中，因為AE=1，AB=2，所以BE= ，

在直角梯形EADP中，因為AE=1，AD=PD=2，所以PE= ，所以PE=BE．

又因為F為PB的中點，所以EF⊥PB．

要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM

因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因為CB⊥CD，PD∩CD=D，

所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC．

若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，可得 ，

由已知可求得PB=，PF=，PC=，所以PM=