Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（2，1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A（0，-1），直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且|AP|=|AQ|，當△OPQ（O為坐標原點）的面積S最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓過點M（2，1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率k存在，當k=0時，直線l的方程為y=±1．當k≠0時，可設直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-2）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式，結合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（2，1），且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率k存在，
①當k=0時，設直線l的方程為y=y₀，P（-x₀，y₀），Q（x₀，y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，
∴S=$\frac{1}{2}$|2x₀|•|y₀|=|x₀|•|y₀|=2$\sqrt{{{y}_{0}}^{2}（2-{{y}_{0}}^{2}）}$≤$2•\frac{{{y}_{0}}^{2}+（2-{{y}_{0}}^{2}）}{2}$=2，
當且僅當${{y}_{0}}^{2}$=2-${{y}_{0}}^{2}$，即|y₀|=1時，取等號，
此時直線l的方程為y=±1．
②當k≠0時，可設直線l的方程為y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-2）=0，
由△=（8km）²-4（1+4k²）•4（m²-2）＞0，
解得8k²+2＞m²，（*）
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-2）}{1+4{k}^{2}}$，
∴PQ中點為（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
∵|AP|=|AQ|，∴$\frac{\frac{m}{1+4{k}^{2}}+1}{-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}-0}=-\frac{1}{k}$，化簡得1+4k²=3m，
結合（*）得0＜m＜6，
又O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}•\sqrt{8{k}^{2}+2-{m}^{2}}}}{1+4{k}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}•\sqrt{8{k}^{2}+2-{m}^{2}}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{6m-{m}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{-（m-3）^{2}+9}$，
∴當m=3時，S取最大值2，此時k=$±\sqrt{2}$，直線l的方程為y=$±\sqrt{2}x+3$．
綜上所述，直線l的方程為y=±1或y=$±\sqrt{2}x+3$．

點評 本題考查橢圓方程、直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．