Question

（本小題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)，，，曲線C上任意—點(diǎn)滿足：．
(l)求曲線C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與曲線相交于M,N兩點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為，．試探究的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
(3)設(shè)曲線C與y軸交于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)M (0,m)在線段DE上，點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)．若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)時(shí)，取得最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

(l)  (2)  (3)

試題分析：（1）由題意可得，，
所以，
又，
所以，即. 
（2）因?yàn)檫^原點(diǎn)的直線與橢圓相交的兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
所以可設(shè). 
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824004058356605.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，所以有
， ………① 
， ………②
①-②得
.
又,， 
所以，
故的值與點(diǎn)的位置無關(guān)，與直線也無關(guān). 
（3）由于在橢圓上運(yùn)動(dòng)，橢圓方程為，故，且
.  因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824004058606855.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
．
由題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取得最小值，即當(dāng)時(shí)，取得最
小值，而，故有，解得．
又橢圓與軸交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，而點(diǎn)在線段上，       即，亦即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的大體步驟：1建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),2找到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，3關(guān)系式坐標(biāo)化，整理化簡(jiǎn)，4除去不滿足題意要求的個(gè)別點(diǎn)。本題第二三小題較復(fù)雜，學(xué)生很難達(dá)到滿分