Question

11．已知△ABC為銳角三角形，角 A，B，C的對邊分別是 a，b，c，其中 c=2，acosB+bcosA=$\frac{\sqrt{3}c}{2sinC}$，則△ABC周長的取值范圍為（4，6]．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出C，求出三角形的外接圓的半徑，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式以及正弦定理求出a+b+c的取值范圍．

解答 解：由acosB+bcosA=$\frac{\sqrt{3}c}{2sinC}$，得sinAcosB+sinBcosA=$\frac{\sqrt{3}sinC}{2sinC}$，
即sin（A+B）=sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因為角C是銳角，
所以C=$\frac{π}{3}$，
所以A+B=$\frac{2π}{3}$，2R=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以三角形周長l=a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）+sin$\frac{π}{3}$）=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2，
又因為 0＜A＜$\frac{π}{2}$，
所以：A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
所以：sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
所以：周長l=a+b+c=4sin（A+$\frac{π}{6}$）+2∈（4，6]．
故答案為：（4，6]．

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．