Question

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．
（Ⅲ）求f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可得f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），從而可得其最小正周期；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，f（x）在區(qū)間[-

π

4

，-

π

12

]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-

π

12

，

π

4

]上是增函數(shù)，從而可求f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．
（Ⅲ）由正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．于是可求得f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，有f（x）=cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

cos²x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

cos²x+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

×

1+cos2x

2

+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x
=

1

2

sin（2x-

π

3

），
所以，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）因為f（x）在區(qū)間[-

π

4

，-

π

12

]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-

π

12

，

π

4

]上是增函數(shù)．
所以，f（-

π

4

）=-

1

4

，f（-

π

12

）=-

1

2

，f（-

π

4

）=

1

4

．
所以，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值為

1

4

，最小值為-

1

2

．
（Ⅲ）f（x）=

1

2

sin（2x-

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z．
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
所以在f（x）在[-

π

12

，

π

4

]上遞增，在[-

π

4

，-

π

12

]上遞減．

點評：本題考查三角恒等變換及其應用，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性及最值，屬于中檔題．