如圖，在正△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC，AC上，且BD=
1
3
BC，CE=
1
3
CA，AD，BE相交于點(diǎn)P．求證：
（Ⅰ）四點(diǎn)P、D、C、E共圓；
（Ⅱ）AP⊥CP．
考點(diǎn)：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定
專(zhuān)題：直線與圓
分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出△ABD≌△BCE，由此能證明四點(diǎn)P，D，C，E共圓．
（II）連結(jié)DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四點(diǎn)P，D，C，E共圓知，∠DPC=∠DEC，由此能證明AP⊥CP．
解答： 證明：（I）在△ABC中，由BD=
1
3
BC，CE=
1
3
CA，知：
△ABD≌△BCE，…（2分）
∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．
所以四點(diǎn)P，D，C，E共圓．…（5分）
（II）如圖，連結(jié)DE．
在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，
由正弦定理知∠CED=90°．…（8分）
由四點(diǎn)P，D，C，E共圓知，∠DPC=∠DEC，
所以AP⊥CP．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

畫(huà)出函數(shù)y=x2-2|x|-1的圖象，并說(shuō)明該圖象與y=x2-2x-1的圖象的關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方形ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分別為A1B1、BB1、CC1的中點(diǎn)．
（1）證明D1M、C1B1、CN三線共點(diǎn)；
（2）求異面直線D1P與AM所成角度數(shù)并求CN與AM所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+
π
3
）-
3
cos2x+
3
4
，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的最大值和最小值．
（Ⅲ）求f（x）在閉區(qū)間[-
π
4
，
π
4
]上的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，直線l：y=-x+2
2
與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．求橢圓C1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

解關(guān)于x的不等式：
1-2a
x-2
＜a（a＞0）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）證明：AB∥平面SDC
（2）證明：SD⊥平面SAB
（3）求A點(diǎn)到平面SBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白的球各一個(gè)，這些球除顏色外都相同．
（1）求攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，恰好是紅球的概率；
（2）攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，求至少有一次摸出的球是紅球的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．
（Ⅰ）求取出的4個(gè)球中沒(méi)有紅球的概率；
（Ⅱ）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；
（Ⅲ）設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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