Question

如圖，已知三棱錐A–BPC中，AC⊥BC，AP⊥PC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形

（1）求證：BC⊥平面APC；

（2）若BC=3，B=10，點(diǎn)B到平面DCM的距離.

Answer 1

（1）證明：∵△PMB為正三角形，

且D為PB的中點(diǎn)，∴MD⊥PB．

又∵M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，            

∴MD//AP，∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，

∴BC⊥平面APC

   （2）法一：作BQ⊥CD，垂直為Q

因?yàn)镸D//AP，AP⊥平面PBC

所以MD⊥平面PBC，所以平面C MD⊥平面PBC

所以BQ⊥平面MCD

在Rt△PBC中，BC=3，PC=4，D為PB的中點(diǎn)，所以S_△BCD=

又DC=,∴,即BQ=

故點(diǎn)B到平面MDC的距離為

法二：（等體積法）在Rt△PBC中，BC=3，PC=4，D為PB的中點(diǎn)，所以S_△BCD=

因?yàn)镸D//AP，AP⊥平面PBC

所以MD⊥平面PBC

又因?yàn)镈C=,設(shè)所求的距離為h

則由等體積法的3MD=MD

即點(diǎn)B到平面MDC的距離為