設數(shù)列{a
n} 的前n項和為S
n,滿足2S
n=a
n+1﹣2
n+1+1,n∈N
*,且a
1,a
2+5,a
3成等差數(shù)列.
(1)求a
1,a
2,a
3的值;
(2)求證:數(shù)列{a
n+2
n}是等比數(shù)列;
(3)證明:對一切正整數(shù)n,有
+
+…+
<
.
試題分析:(1)由
,
,
成等差數(shù)列可得一等式:
.為了求出
,
,
,需再列兩個方程.在題設
中,令
,
,便又得兩個方程,這樣解方程組即可.
(2)要證
為等比數(shù)列,需證
是一個常數(shù).為此,需找到
與
.題設中是
這樣一個關系式,顯然應消去
只留
,這就要用
.
將
中的
換成
得
,兩式相減得:
,所以
.注意這里的
大于等于2,所以還需要考慮
的情況.
(3)涉及數(shù)列的和的不等式的證明,一般有以下兩種方法,一是先求和后放縮,二是先放縮后求和.
在本題中,應首先求出通項公式.由(2)可得
.對這樣一個數(shù)列顯然不可能先求和,那么就先放縮.因為
,所以
,然后采用迭乘或迭代的方法,便可得
,右邊是一個等比數(shù)列,便可以求和了.
試題解析:(1)因為
,
,
成等差數(shù)列,所以
……………………①
當
時,
,………………………………………………………②
當
時,
,………………………………………………③
所以聯(lián)立①②③解得,
,
,
.
(2)由
,得
,
兩式相減得
,所以
.
因為
,所以
是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.
(3)由(2)得,
,即
.因為
,
所以
,
所以當n≥2時,
,
,
,…….,
,兩邊同時相乘得:
.
所以
.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
正項數(shù)列
的前n項和為
,且
。
(Ⅰ)證明數(shù)列
為等差數(shù)列并求其通項公式;
(2)設
,數(shù)列
的前n項和為
,證明:
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
)已知數(shù)列{a
n}是首項為-1,公差d
0的等差數(shù)列,且它的第2、3、6項依次構成等比數(shù)列{b
n}的前3項。
(1)求{a
n}的通項公式;
(2)若C
n=a
n·b
n,求數(shù)列{C
n}的前n項和S
n。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
大學生自主創(chuàng)業(yè)已成為當代潮流。長江學院大三學生夏某今年一月初向銀行貸款20000元作開店資金,全部用作批發(fā)某種商品,銀行貸款的年利率為6%,約定一年后一次還清貸款。已知夏某每月月底獲得的利潤是該月月初投人資金的15%,每月月底需要交納個人所得稅為該月所獲利潤的20%,當月房租等其他開支1500元,余款作為資金全部投入批發(fā)該商品再經(jīng)營,如此繼續(xù),假定每月月底該商品能全部賣出。
(1)設夏某第
個月月底余
元,第
個月月底余
元,寫出
的值并建立
與
的遞推關系式;
(2)預計年底夏某還清銀行貸款后的純收入。(參考數(shù)據(jù):1.12
11≈3.48,1.12
12≈3.90,0.12
11≈7.43×10
﹣11,0.12
12≈8.92×10
﹣12)
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設
是數(shù)列
的前
項和,對任意
都有
成立, (其中
、
、
是常數(shù)).
(1)當
,
,
時,求
;
(2)當
,
,
時,
①若
,
,求數(shù)列
的通項公式;
②設數(shù)列
中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“
數(shù)列”.
如果
,試問:是否存在數(shù)列
為“
數(shù)列”,使得對任意
,都有
,且
.若存在,求數(shù)列
的首項
的所
有取值構成的集合;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列
,
滿足
,
,且對任意的正整數(shù)
,
和
均成等比數(shù)列.
(1)求
、
的值;
(2)證明:
和
均成等比數(shù)列;
(3)是否存在唯一正整數(shù)
,使得
恒成立?證明你的結論.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知數(shù)列
的前
項和
(
),則
的值是__________.
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