設雙曲線C:-y2=1的左、右頂點分別為A1、A2,垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q.

(1)若直線m與x軸正半軸的交點為T,且·=1,求點T的坐標;

(2)求直線A1P與直線A2Q的交點M的軌跡E的方程;

(3)過點F(1,0)作直線l與(2)中的軌跡E交于不同的兩點A、B,設=λ·,若λ∈[-2,-1],求||(T為(1)中的點)的取值范圍.

 

【答案】

(1)(2,0)(2)(3)

【解析】(1)由雙曲線方程可得A1, A2,設直線m的方程為x=a,代入橢圓方程求出P,Q的坐標,再根據(jù)·=1建立關于a的方程,求出a值,從而求出T點坐標.

(2)設出直線m:x=a,然后求出P、Q的坐標,再求出直線A1P與直線A2Q方程,從而解方程組求出交點M的參數(shù)方程,消去參數(shù)a之后即可得到點M的軌跡E的普通方程.

(3)容易驗證直線l的斜率不為0.故可設直線l的方程為  中,得,再根據(jù)韋達定理可得y1,y2與k的兩個關系式,再根據(jù)得到,從而可知

問題互此轉(zhuǎn)化為關于k的函數(shù)來解決即可.

解:(1)由題,得,設

  …………①

在雙曲線上,則   …………②

聯(lián)立①、②,解得    由題意,

∴點T的坐標為(2,0)   …………3分

(2)設直線A1P與直線A2Q的交點M的坐標為(x,y)

由A1、P、M三點共線,得   …………③

由A2、Q、M三點共線,得    …………④

聯(lián)立③、④,解得    ∵在雙曲線上,

∴軌跡E的方程為  …………8分

(3)容易驗證直線l的斜率不為0.故可設直線l的方程為  中,得   設

則由根與系數(shù)的關系,得  ……⑤      ……⑥  

 ∴有      將⑤式平方除以⑥式,得

   由

  ………………10分

……………….12分

    ∴,即         ∴

,  ∴

…………………….14分

 

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A、k≤-或k≥    B、k<-或k>   C、-<k<    D、-≤k≤

 

 

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