Question

已知， ，，其中是無(wú)理數(shù)且，.

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，，，         

令，得x=1.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；                  

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.                    

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e），的極小值為.                            （4分）

令，，所以.        

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，              

所以.

故在（1）的條件下，.                          

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使（）有最小值-1.

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/11/03/13/2014110313595129316417.files/image184.gif'>，                                   

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)最小值；

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在（0，a）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在（a，e）單調(diào)遞增；                     

所以，得，滿足條件；       

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/11/03/13/2014110313595129316417.files/image192.gif'>，所以，故在上單調(diào)遞減.

，得（舍去）；           

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得在上的最小值為-1.