Question

已知f（x）=，g（x）=-+2ex-tlnx-，t為實常數，
（1）比較與ln大�。�
（2）求f（x）在區(qū)間[1，a]（a＞1的常數）上最大值．
（3）當x∈[1，2]時，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]對于λ∈[1，+∞）恒成立，求t取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用導數求得f（x）的單調區(qū)間，根據單調性可得f（e）＞f（2），由此可得到結論；
（2）由（1）可知f（x）的單調區(qū)間，按照1＜a≤e，a＞e兩種情況進行討論，由單調性可得其最大值；
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-+2ex-≤tλ，令h（x）=-+2ex-（1≤x≤2），利用導數可求得h（x）在[1，2]上的最大值，然后分離出參數t后再求最值即可；
解答：解：（1）∵f（x）=，∴x＞0，f′（x）=，
由f′（x）==0，得x=e．
當0＜x＜e時，f′（x）＞0；當x＞e時，f′（x）＜0．
∴f（x）=在（0，e）內是增函數，在（e，+∞）內是減函數．
∵e＞2，∴f（e）＞f（2），即，
∴＞ln．
（2）由（1）知f（x）=在（0，e）內是增函數，在（e，+∞）內是減函數，
∴當1＜a≤e時，f（x）在區(qū)間[1，a]上遞增，最大值為f（a）=；
當a＞e時，f（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，在[e，a]上遞減，最大值為f（e）=．
∴f（x）在區(qū)間[1，a]（a＞1的常數）上最大值為f（x）_max=．
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-+2ex-tlnx-≤t（λ-lnx），亦即-+2ex-≤tλ，
令h（x）=-+2ex-（1≤x≤2），則h′（x）=-x+2e+=，
令φ（x）=-x³+2ex²+1，則φ′（x）=-3x²+4ex=-3x（x-），
當x∈[1，2]時，φ′（x）＞0，φ（x）單調遞增，
則φ（x）≥φ（1）=2e＞0，
所以h′（x）＞0，h（x）在[1，2]上單調遞增，
所以h（x）_max=h（2）=4e-，
所以要使x∈[1，2]時，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]成立，有4e-≤tλ，
該不等式可變?yōu)閠，要使g（x）≤t[λ-xf（x）]對于λ∈[1，+∞）恒成立，
因為在[1，+∞）上遞減，所以只需t≥4e-，
故實數t的取值范圍為t≥4e-．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區(qū)間上的最值，考查恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析問題解決問題的能力．