【答案】
分析:(1)先利用導數求得f(x)的單調區(qū)間,根據單調性可得f(e)>f(2),由此可得到結論;
(2)由(1)可知f(x)的單調區(qū)間,按照1<a≤e,a>e兩種情況進行討論,由單調性可得其最大值;
(3)g(x)≤t[λ-xf(x)]即-

+2ex-

≤tλ,令h(x)=-

+2ex-

(1≤x≤2),利用導數可求得h(x)在[1,2]上的最大值,然后分離出參數t后再求最值即可;
解答:解:(1)∵f(x)=

,∴x>0,f′(x)=

,
由f′(x)=

=0,得x=e.
當0<x<e時,f′(x)>0;當x>e時,f′(x)<0.
∴f(x)=

在(0,e)內是增函數,在(e,+∞)內是減函數.
∵e>2,∴f(e)>f(2),即

,
∴

>ln

.
(2)由(1)知f(x)=

在(0,e)內是增函數,在(e,+∞)內是減函數,
∴當1<a≤e時,f(x)在區(qū)間[1,a]上遞增,最大值為f(a)=

;
當a>e時,f(x)在區(qū)間[1,e]上遞增,在[e,a]上遞減,最大值為f(e)=

.
∴f(x)在區(qū)間[1,a](a>1的常數)上最大值為f(x)
max=

.
(3)g(x)≤t[λ-xf(x)]即-

+2ex-tlnx-

≤t(λ-lnx),亦即-

+2ex-

≤tλ,
令h(x)=-

+2ex-

(1≤x≤2),則h′(x)=-x+2e+

=

,
令φ(x)=-x
3+2ex
2+1,則φ′(x)=-3x
2+4ex=-3x(x-

),
當x∈[1,2]時,φ′(x)>0,φ(x)單調遞增,
則φ(x)≥φ(1)=2e>0,
所以h′(x)>0,h(x)在[1,2]上單調遞增,
所以h(x)
max=h(2)=4e-

,
所以要使x∈[1,2]時,不等式g(x)≤t[λ-xf(x)]成立,有4e-

≤tλ,
該不等式可變?yōu)閠

,要使g(x)≤t[λ-xf(x)]對于λ∈[1,+∞)恒成立,
因為

在[1,+∞)上遞減,所以只需t≥4e-

,
故實數t的取值范圍為t≥4e-

.
點評:本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區(qū)間上的最值,考查恒成立問題,考查轉化思想,考查學生分析問題解決問題的能力.