Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+

3

cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜

π

2

)為奇函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）的圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f（

π

6

）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的奇偶性求出φ，由周期求出ω，可得函數(shù)的解析式，從而求得f（

π

6

）的值．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin(ωx+φ)+

3

cos(ωx+φ)=2[

1

2

sin(ωx+φ)+

3

2

cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ+

π

3

)．
因為f（x）為奇函數(shù)，所以f(0)=2sin(φ+

π

3

)=0，又0＜|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

3

．
所以f（x）=2sinωx，由題意得

2π

ω

=2•

π

2

，所以ω=2．
故f（x）=2sin2x，因此f(

π

6

)=2sin

π

3

=

3

． 
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到f(x-

π

6

)的圖象，
所以g(x)=f(x-

π

6

)=2sin[2(x-

π

6

)]=2sin(2x-

π

3

)．
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）時，g（x）單調(diào)遞增，
因此g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于基礎(chǔ)題．