Question

若向量

a

=(sinθ，cosθ)，

b

=(

3

，-1)，

a

•

b

=1，且θ∈(0，

π

2

)．
（1）求θ；
（2）求函數(shù)f（x）=cos2x+4cosθsinx的值域．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積得到

a

•

b

=

3

sinθ-cosθ=1，再由兩角和與差的正弦公式可得sin(θ-

π

6

)=

1

2

進(jìn)而得到θ的值．
（2）先求出cosθ的值代入函數(shù)f（x），然后由二倍角公式將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，再由sinx的范圍得到f（x）的值域．

解答：解：（1）依題意：

a

•

b

=

3

sinθ-cosθ=1
所以2sin(θ-

π

6

)=1，即sin(θ-

π

6

)=

1

2

又A為銳角，易得θ-

π

6

=

π

6

，故θ=

π

3

（2）由（1）可知cosθ=

1

2

所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

因?yàn)閤∈R，則sinx∈[-1，1]
所以，當(dāng)sinx=

1

2

時(shí)，f（x）有最大值

3

2

當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）有最小值-3
故函數(shù)f（x）的值域是[-3，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查已知三角函數(shù)值求角和二倍角公式的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．