Question

下列函數(shù)中，滿足“?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0”的是（　�。�

• A、f（x）=2^x
• B、f（x）=-（x-1）²
• C、f（x）=

  1

  x+1

• D、f（x）=ln（x+1）

Answer 1

考點(diǎn)：全稱命題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件知滿足條件的函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的定義可找出在（0，+∞）上遞減的函數(shù)．

解答： 解：（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即x₁-x₂與f（x₁）-f（x₂）異號(hào)；
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以判斷哪個(gè)是減函數(shù)即可：
A．指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x是增函數(shù)，所以不符合條件；
B．二次函數(shù)f（x）=-（x-1）²的對(duì)稱軸是x=1，圖象開口向下，所以在（0，1]上是增函數(shù)，所以不合條件；
C．f（x）=

1

x+1

，x增大時(shí)，f（x）減小，所以該函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，符合條件；
D．f（x）=ln（x+1），x增大時(shí)，f（x）增大，所以該函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，不合條件；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)單調(diào)性的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．