Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）和.

（Ⅱ）見(jiàn)解析；

（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程；

(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類(lèi)討論即可求得a的值.

（Ⅰ），令得或者.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；

綜上可得所求切線方程為和.

（Ⅱ）設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

所以是中的較大者，

若，即時(shí)，；

若，即時(shí)，；

所以當(dāng)最小時(shí)，，此時(shí).