Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸交于A點(diǎn)，若F₁（-1，0），且．
（I）求橢圓的方程；
（II）過(guò)F₁、F₂作互相垂直的兩直線分別與橢圓交于P、Q、M、N四點(diǎn)，若直線MN的傾斜角為，求四邊形PMQN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，，c=1，故A（a²，0），由，知F₂為AF₁的中點(diǎn)，由此能求出橢圓方程．
（II）由直線MN的傾斜角為，知直線MN的斜率k=1，故直線MN的方程為y=x-1，把y=x-1代入橢圓方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，由此能求出四邊形PMQN的面積．
解答：解：（I）由題意，，c=1，∴A（a²，0），
∵，∴F₂為AF₁的中點(diǎn)，
∴a²=3，b²=2，
∴橢圓方程為．
（II）由于直線MN的傾斜角為，∴直線MN的斜率k=1，
直線MN的方程為y=x-1，
把y=x-1代入橢圓方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，
所以==．
同理|PQ|=，
∴四邊形PMQN的面積S=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和求四邊形的面積，具體涉及到橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．