Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+4

x

（x≠0）．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[1，2]上的單調(diào)性，并證明；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，4]上的值域．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用單調(diào)性的定義進行證明即可；
（2）由（1）知，f（x）在[1，2]上遞減，又易得f（x）在（2，4]上遞增，即可求函數(shù)f（x）在[1，4]上的值域．

解答： 解：（1）f（x）在[1，2]上遞減，證明如下：（1分）
設任取x₁，x₂∈[1，2]且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

(x1x2-4)(x2-x1)

x1x2

∵1≤x₁＜x₂≤2，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在[1，2]上遞減                                 （4分）
（2）由（1）知，f（x）在[1，2]上遞減，又易得f（x）在（2，4]上遞增，則f（x）_min=f（2）=3，
又f（1）=f（4）=5，∴f（x）_max=5，∴f（x）∈[3，5]（8分）

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．