Question

8．對于函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}-1}$（a∈R）
（1）用單調(diào)函數(shù)的定義證明f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（2）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x₁＜x₂＜0，然后通過作差判斷f（x₁）和f（x₂）的大小關(guān)系即可；
（2）假設(shè)存在，利用奇函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（a-\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}）-（a-\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}）$=$\frac{2}{{{2^{x_2}}-1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}-1}}$=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）}}$=$\frac{{2•{2^{x_1}}（1-{2^{{x_2}-{x_1}}}）}}{{（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）}}$．…（4分）
因為x₁，x₂∈（-∞，0），故${2^{x_1}}-1＜0$，${2^{x_2}}-1＜0$，
又因為x₁＜x₂，所以${2^{{x_2}-{x_1}}}＞1$．
所以$\frac{{2•{2^{x_1}}（1-{2^{{x_2}-{x_1}}}）}}{{（{2^{x_1}}-1）（{2^{x_2}}-1）}}＜0$，即f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在x上為增函數(shù)…（6分）
（2）解：對任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），-x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
$f（x）+f（-x）=a-\frac{2}{{{2^x}-1}}+a-\frac{2}{{{2^{-x}}-1}}$=$2a-\frac{2}{{{2^x}-1}}-\frac{{2•{2^x}}}{{1-{2^x}}}$=$2a+\frac{{2•{2^x}-2}}{{{2^x}-1}}$=2a+2=0…（10分）
解得a=-1，此時f（-x）=-f（x）．
所以存在a=-1，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查增函數(shù)的定義，以及利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程．