Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)圖象在點處的切線方程；

（2）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性

（3）是否存在實數(shù)，對任意的 有恒成立？若存在，求出的取值范圍:若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，最后根據(jù)點斜式求切線方程，（2）先求導(dǎo)數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)零點，根據(jù)兩零點大小關(guān)系分類討論導(dǎo)函數(shù)符號，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)性，（3）先調(diào)整不等式為，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，即恒成立，最后利用變量分離法轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題最小值，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值可得結(jié)果.

詳解：（1）當時，，，所以所求的切線方程為，即．

（2）①當，即時，，在上單調(diào)遞增．

②當，即時，因為或時，；當時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當，即時，因為或時，；當時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（3）假設(shè)存在這樣的實數(shù)，滿足條件，不妨設(shè)，由知，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以，即在上恒成立，所以，故存在這樣的實，滿足題意，其取值范圍為．