【題目】把一塊邊長為的正六邊形鐵皮，沿圖中的虛線（虛線與正六邊形的對應邊垂直）剪去六個全等的四邊形（陰影部分），折起六個矩形焊接制成一個正六棱柱形的無蓋容器（焊接損耗忽略），設容器的底面邊長為.

（1）若，且該容器的表面積為時，在該容器內(nèi)注入水，水深為，若將一根長度為的玻璃棒（粗細忽略）放入容器內(nèi)，一端置于處，另一端置于側(cè)棱上，忽略鐵皮厚度，求玻璃棒浸人水中部分的長度；

（2）求該容器的底面邊長的范圍，使得該容器的體積始終不大于.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，表示出容器的高，從而可以表示出容器的底面積和側(cè)面積，根據(jù)容器的表面積為，得到關于的方程，從而得到的值，設玻璃棒在上的交點為，玻璃棒與水面交點為，過作交于，根據(jù)得到的值；

（2）表示出容器的體積，根據(jù)對恒成立，利用導數(shù)求出的最大值，從而得到的范圍.

解：（1）由題意，則，設該容器的高為，則.

當時，容器底面積，

側(cè)面積，

所以容器表面積，整理得，

得或（舍）.

當玻璃棒一個端點置于處，另一端置于側(cè)棱上時，

如圖，設玻璃棒在上的交點為，玻璃棒與水面交點為.

因為為正六棱柱，所以四邊形為矩形，

在平面中，過作交于，如圖所示，

因為，，則，因為，

所以即，

所以.

（2）設該容器的體積為，.

因為該容器的體積始終不大于，

所以對恒成立.

即對恒成立，

令，，

令得，則隨變化的表格如下：

+

0

-

增

最大值

減

.

所以，得，得.

答：該容器底面邊長滿足時，容器的體積始終不大于.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，某地有一塊半徑為R的扇形AOB公園，其中O為扇形所在圓的圓心，AOB＝，OA，OB，為公園原有道路.為滿足市民觀賞和健身的需要，市政部門擬在上選取一點M，新建道路OM及與OA平行的道路MN（點N在線段OB上），設AOM＝.

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（2）如何設計，才能使市民從點A出發(fā)沿道路，MN行走至點N所經(jīng)過的路徑最長？請說明理由.

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【題目】某生物研究所為研發(fā)一種新疫苗，在200只小白鼠身上進行科研對比實驗，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

未感染病毒

感染病毒

總計

未注射疫苗

30

注射疫苗

70

總計

100

100

200

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.

（Ⅰ）能否有的把握認為注射此種疫苗有效？

（Ⅱ）在未注射疫苗且未感染病毒與注射疫苗且感染病毒的小白鼠中，分別抽取3只進行病例分析，然后從這6只小白鼠中隨機抽取2只對注射疫苗情況進行核實，求抽到的2只均是注射疫苗且感染病毒的小白鼠的概率.

附：，，

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】設數(shù)列的前項和為，且.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設數(shù)列的前項和為，求證： 為定值；

（3）判斷數(shù)列中是否存在三項成等差數(shù)列，并證明你的結論.

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配方的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標值分組

頻數(shù)

（1）求，的值；

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A.B.C.D.

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